高中高三理科数学模拟试卷习题

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　高三理科数学模拟试卷

　理 科

　总分： 150 分 时量： 120 分钟 供题人：武汉中学高三数学组

　一、选择题 ：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中

　有且只有一项是符合题目要求的 .

　1．复数 z

　1

　的共轭复数

　z 是

　（

　）

　cos

　i sin

　6

　6

　A.

　1

　3 i

　B.

　1

　3 i

　2

　2

　2

　2

　C.

　3

　1 i

　D.

　3

　1 i

　2

　2

　an

　2

　2

　2．在各项都为正数的等比数列

　中， a1 3 ，前三项的和为

　21，则 a3

　a4

　a5

　（

　）

　A ．33

　B．72

　C． 84

　D ．189

　3．某一计算机网络有

　n 个终端，每个终端在一天中没有使用的概率为

　p ，则这个网络

　中一天平均使用的终端个数是

　（

　）

　A . np(1

　p)

　B. np

　C. n

　D. n(1 p)

　4．已知 m、 n 是不重合的直线 ,α、β是不重合的平面 ,有下列命题 ,

　①若 m

　α , , n∥α ,则 m∥ n， ②若α∩β = n ,m ∥ n, 则 m∥α ,且 m∥β

　③若 m∥α ,m∥β ,则α∥β，

　④若 m⊥α , m⊥β , 则α∥β

　其中正确的命题个数是

　（

　）

　A .1

　B .2

　C.3

　D .0

　5．湖南经视台某采访小组共有

　8 名记者，现从 8 名记者中按性别比例选取

　4 名记者分

　别派往湘潭、株洲、长沙、常德四个地方执行采访任务，已知共有

　960 种不同的安排

　方式。则其中有男记者

　(

　)

　A.2 名

　B.4 名

　C.6 名

　D.2名或 6名

　6．定义行列式运算：

　a1 a2

　a1 a4

　a2 a3. 将函数 f ( x)

　3

　sin x

　a3 a4

　1

　的图象向左平

　cos x

　移 m 个单位 (m

　0) ，所得图象对应的函数为偶函数，则

　m 的最小值是

　（

　）

　A.

　B.

　C.

　5

　D.

　2

　8

　3

　6

　3

　7．设函数 f ( x)

　lg | x |

　( x

　0)

　，若 f ( x0 )

　0 ，则 x0 的取值范围是（

　）

　2x 1

　( x

　0)

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　A.

　(

　, 1)

　(1,

　)

　B.

　(

　, 1)

　(0,

　)

　C.

　(

　1,0)

　(0,1)

　D.

　(

　1,0)

　( 0,

　)

　8 ． 设

　M

　是

　ABC

　内 任

　一

　点 ， 且

　AB?AC 2 3, BAC

　300 ,

　设

　MBC ,

　MAC , MAB 的面积分别为

　x, y, z ，且 z

　1 ，则在平面直角中坐标系中，

　以

　x, y 为坐标的点 ( x, y) 的轨迹图形是

　2

　（

　）

　y

　y

　y

　y

　1

　2

　o

　1

　2

　

　1

　x

　o 1

　2

　

　1

　1

　2

　2

　x

　o

　1

　x

　o

　1 x

　2

　A

　B

　C

　D

　9．对于集合 P、 Q, 定义 P-Q= x | x P且x Q

　， P Q

　(P Q) U(Q

　P) ，设

　A ＝ y | y

　x2

　4x, x

　R

　， B=

　y | y

　3x , x

　R ,则A

　B 等于

　（

　）

　A.

　4,0

　B.

　4,0

　C.

　,

　4U0,

　D.

　,

　4U0,

　10．椭圆 C1

　: x2

　y 2

　1

　(a b

　0) 的左准线为 l ，左、右焦点分别为

　F1, F2 ，抛物线

　a2

　b2

　| F1F2 |

　| PF1

　|

　C 2 的准线也为 l ，焦点为 F2 ，记 C1 与 C 2 的一个交点为 P ，则

　)

　|PF1 |

　| PF2

　(

　|

　A. 1

　B.1

　C.2

　D.

　与 a,b 的取值有关

　2

　二、填空题 : 本大题共 5

　个小题，共

　25 分，将答案填写在题中的横线上.

　11．如果 (x－ a

　)8 的展开式的常数项等于

　1120，那么实数 a 的值为 ____________ 。

　x

　12．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区

　9 月份至

　11 月

　份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个

　月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为

　万只 .

　鸡（万只）

　月份

　养鸡场（个数）

　2

　9

　20

　1.5

　10

　50

　1

　11

　100

　o91011

　13．函数 f ( x) x 2 cos x 在 0,

　上的最大值为

　2

　

　各养鸡场注射

　了疫苗的鸡的数量平均数 .

　月份

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　14． 设 S(m) lim(

　1

　1

　L

　1

　2

　3

　n ) ，

　n

　(m

　1)

　(m 1)

　(m 1)

　求 lim[

　(1)

　(2)

　L

　(

　)]

　.

　y

　m

　S

　S

　S m

　A 2

　x2

　y2

　A

　1A 2，短轴

　B2

　15．如图，椭圆

　1

　的长轴为

　16

　12

　为 B1B 2，将坐标平面沿

　y 轴折成一个二面角，使点

　x

　A

　在平面BA

　B 上的射影恰好是该椭圆的左焦点，

　A

　1

　F

　1

　O

　F

　A

　2

　2

　1

　1 2

　2

　则此二面角的大小为

　；三棱锥

　B 1

　A2 B1 A1B2

　2112

　＝

　。

　的体积 VA

　B A B

　三、解答题： 本大题共

　6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　16．（本小题满分 12 分）

　已知 A,B是

　ABC 的两个内角， a

　2 cos A

　B i

　sin A

　B j ，（其中 i

　, j

　是互相

　6

　2

　2

　垂直的单位向量） ，若

　| a |.

　2

　（ 1）试问 tan A

　tan B 是否为定值，若是定值，请求出

　, 否则请说明理由 ;

　（ 2）求 tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状.

　17．（本小题满分 12 分）

　1000

　移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费

　元，便可获得奖券一张，每张奖券

　中奖的概率为

　1 ，中奖后移动公司返还顾客现金

　1000 元，小李购买一台价格

　2400 元的5

　手机，只能得

　2 张奖券，于是小李补偿

　50 元给同事购买一台价格

　600 元的小灵通（可

　以得到三张奖券） ，小李抽奖后实际支出为

　（元） .

　P

　（ 1）求

　的分布列；

　（ 2）试说明小李出资

　50 元增加 1 张奖券是否划算。

　18．（本小题满分 12 分）

　如图， P ABCD 是正四棱锥， ABCD

　A1 B1C1D1

　是正方体，其中 AB

　2, PA

　6 ，

　D

　C

　（1） 求证 PA

　B1D1；

　A

　B

　（ 2） 求平面 PAD 与平面 BDD 1B1 所成的锐二面

　角

　的大小；

　D1

　（ 3）求 B1 到平面 PAD 的距离 .

　C1

　A1

　B1

　19．（本小题满分 12 分）

　甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数

　f（x）、g（x），当甲公司

　投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于

　f（ x）万元，则乙公司对这一新

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　产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入 x 万元作宣传时，

　若甲公司投入的宣传费小于 g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

　（1）试解释 f (0) 10, g (0) 20 的实际意义；

　（ 2）设 f ( x) 1 x 10, g( x) x 20 ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协

　4

　商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

　20．（本小题满分 13 分）

　已知 C1 : (x

　2)2

　y2

　25， C2 : ( x

　2) 2

　y21

　，及直线 x a (a

　1) .

　4

　4

　2

　（ 1）求与 C1 ,C2 都外切的动圆圆心

　P 的轨迹方程 . 并证明当 a

　1

　时，点 P到圆 C2的圆心 A 的距离与 P 到定直线 x

　a 的距离之比为一个常数；

　2

　（ 2） 延长 PA 与动点 P 的轨迹交于另一点

　Q ，求 | PQ | 的最小值；

　（ 3）若存在某一位置，使得

　PQ （ PQ 仍为过 A 的弦）的中点 R 在直线 x

　a 上的射

　影 C满足 PC

　QC ，求 a 的取值范围 .

　21．（本小题满分 14 分）

　已知曲线 C：xy=1 ，过 C 上一点 An ( xn

　, yn ) 作一斜率为 kn

　1

　xn

　的直线交曲线

　2

　C 于另一点 An 1 (xn

　1 , yn

　1 ) ，点列 An (n

　1,2,3,

　) 的横坐标构成数列

　{ xn } ，其

　中 x1

　11

　。

　7

　（ 1）求 xn 与 xn

　1 的关系式；

　（ 2）求证： {

　1

　1

　} 是等比数列；

　2

　3

　xn

　（Ⅲ）求证： (

　1)

　x

　(

　1)2 x

　2

　(

　1) 3 x

　3

　(

　1) n x

　n

　1( n

　N , n

　1) 。

　1

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　理科数学答案

　一、 DCDAD

　CBACB

　二、 11、

　2,

　12、 90,

　13、

　6

　3 ,

　14、 1,

　15、

　,8 （其中第一

　3 分，第二

　2 分）

　3

　23

　2 A

　B

　A

　B

　3

　1

　sin( A B)

　3

　三、 16、①由

　| a |

　2 cos

　sin

　2

　B)

　2

　2

　2

　cos( A

　1

　2

　2

　2

　2cos( A

　B)

　sin( A

　B)

　cos Acos B

　3 sin A sin B

　1

　②

　tan A tan B

　1

　3

　tan A tan B

　0

　tan A

　0, tan B

　0

　3

　tan( A

　B)

　tan A

　tan B

　tan A

　tan B

　3 (tan A tan B)

　3

　2

　tan A tan B

　1 tan A tan B

　1

　1

　2

　2

　3

　3

　1

　当 tan(A

　B)

　3 ，tan A

　tan B

　tan( A

　B)

　3

　3,

　3

　3

　又 tanC

　tan( A

　B)

　3,

　tan C的最大 是

　3,

　此 ， A

　B

　30 0 , ABC是等腰三角形 .

　17、（1）

　的所有可能取

　2450,1450,450，－ 550 ,

　P(

　2450)

　(4)3

　64

　5

　125

　P(

　1450)

　C31 (1)

　(4 )3

　48

　5

　5

　125

　P(

　450)

　C32 (1)2

　(4)

　12

　5

　5

　125

　C33 (1)3

　1

　P(

　550)

　，

　分布列

　2450

　1450

　450

　－ 550

　5

　125

　?（6分）

　P

　64

　48

　12

　1

　125

　125

　125

　125

　（ 2）

　E2450

　64

　1450

　48

　450 12

　( 550)

　1

　125

　125

　125

　125

　＝ 1850（元））

　?（9 分）

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　 小李不出

　50 元增加

　1 券消 的 支出

　1 （元）

　P( 1

　2400)

　( 4)2

　16

　5

　25

　P( 1

　1400)

　C21 1

　4

　8

　5

　5

　25

　P(

　400)

　C2

　(1) 2

　1

　1

　2

　5

　25

　∴ E 1

　240

　16

　1400

　48

　400

　1

　2000(元 )

　25

　125

　25

　E＜E1

　故小王出

　50 元增加

　1 券划算。?（

　12 分）

　18、以 A1B1 x ， A1D1 y ， A1 A z 建立空 直角坐 系 .

　（1） E 是 BD 的中点，

　P

　ABCD 是正四凌 ，

　PE ABCD 面 ,又 AB

　2，

　PA

　6 ,

　PE

　2,

　P (1,1,4 ),

　B1D1

　（

　2，2，0）, AP

　(1,1, 2), B1 D 1

　AP0,

　即 PA

　B1D1 ;。。。。。。。。

　4 分

　（2） 平面 PAD 的法向量是 m

　( x, y, z) ,

　AD

　(0,2,0) ,

　AP

　(1,1,2), y

　0, x

　2z

　0 ,取 z

　1 得 m

　( 2,0,1) ,又因平面 BDD1B1

　的法向量是 n

　(1,1,0),

　cos

　m n

　10

　10

　m, n

　,

　arccos

　;

　| m | | n |

　5

　5

　。。。。。。

　8 分

　（ 3）

　B1 A

　( 2,0,2),

　B1 到平面 PAD 的距离 d

　| B1 A m |

　6 5 . 。。。。。

　12

　| m |

　5

　分

　19、解：（ 1） f（ 0）=10 表示当甲公司不投入宣 ，乙公司要避免新 品的开 有

　失 ，至少要投入

　10 万元宣 ； g（ 0）=20 表示当乙公司不投入宣 ，

　甲公司要避免新 品的开有失 的，至少要投入 20 万元宣

　 。

　4 分

　（2） 甲公司投入宣

　x 万元，乙公司投入宣

　y 万元，依 意，当且 当

　y

　f ( x)

　1

　10.......(1)

　x

　8 分

　4

　成立，双方均无失 的

　x

　g( y)

　y

　20..........(2)

　由（ 1）（2）得 y

　1 (

　y

　20)

　10

　4 y

　y

　60 0

　4

　( y

　4)(4 y

　15)

　0

　4

　y

　15

　0

　y

　4

　y

　16, x

　y 20

　4 20

　24

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　xmin 24 ymin 16

　答：要使双方均无失 ，甲公司至少要投入 24 万元，乙公司至少要投入 16 万

　元。

　 12 元20、（1）由 意，

　|PB |

　|PA|

　2, B( 2,0), A(2,0),

　x

　2 y2

　1

　(x

　1) 。。。。。。

　3 分

　3

　a2

　Q x

　1

　c

　 右准 ， A 右焦点，

　2

　1 的距离之比 常数

　P 到 A 的距离与到直 x

　e

　2

　。。。。。。

　 5 分

　a2 ) ex a,

　2

　（ 2）Q| PA | e( x

　| PQ | 2( x1

　x2 ) 2

　c

　x

　2

　y2

　1

　(k 2

　3)x2

　4k2 x

　(4k2

　3) 0 (| k |

　3)

　3

　y

　k( x

　2)

　4k 2

　2 6

　|PQ| 2

　2

　k

　3

　（ PQ 与 x 垂直 取最小 ）

　

　24

　6,

　k 2

　3

　。。。。。。。。。。。9 分

　（ 3）由 PC

　QC

　|RC|

　1

　| PQ

　x1 x2

　1

　(2

　4k

　2

　2

　|，

　2

　a

　2

　2)

　k 2

　2

　k

　3

　a

　3

　k 2

　3a 3 , k 2

　3

　3a 3

　3

　a

　1

　k 2

　3

　a

　1

　a

　1

　又当 k 不存在 ，即

　PQ 与 x 垂直，此 a

　1 ，

　由此可知：

　a

　1。。。。。。。。。。

　13 分

　21．解：（ 1） C： y

　1

　上一点 An (xn , yn ) 作斜率 k n 的直 交 C 于另一点 An 1 ，

　x

　1

　1

　k n

　yn 1

　yn

　xn 1

　xn

　1

　1

　，

　xn 1

　xn

　xn 1

　xn

　xn 1 xn

　xn

　2

　于是有： xn xn

　1

　xn

　2

　。

　 .5 分

　（ 2） an

　1

　1

　xn

　2

　，

　3

　an 1

　1

　1

　xn

　1

　1

　2(

　1

　1)

　2an ，

　xn 1

　2 3

　2

　2

　3

　xn

　2 3

　xn

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　因 x1

　11 , 而 a1

　1

　1

　2 0 ，

　7

　x1

　2

　3

　因此数列

　1

　1

　 10

　分

　{

　2

　} 是等比数列。

　xn

　3

　（ 3）由（ 2）可知： an

　(

　2)n , 则xn

　2

　1

　，

　( 2) n

　1

　1

　3

　( 1) n xn

　( 1) n 2

　。

　2n

　(

　1) n

　1

　当 n 偶数 有：

　3

　( 1) n 1 xn 1

　( 1) n xn

　=

　1

　1

　2n 1

　2n

　2 n 1

　2n

　1

　1

　，

　n 1

　1

　n1

　n 1

　1

　n

　1

　2n 1

　2n

　2n 1

　2n

　2

　(2

　2

　3

　)(2

　)

　3

　3

　3

　于是

　①在 n 偶数 有：

　( 1) x1

　( 1) 2 x2

　( 1) n xn

　1

　1

　1

　1

　1

　1 。

　2

　22

　23

　24

　2n

　②在 n 奇数 ，前

　n- 1 偶数 ，于是有：

　( 1) x1

　( 1) 2 x2

　( 1)n 1 xn 1 ( 1) n xn

　1 ( 1) n xn

　1 xn

　1 (2

　1

　)

　1

　1

　1 。

　(

　2) n

　1

　2n

　1

　3

　3

　 合①②可知原不等式得 。

　? ..14 分

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