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数学悖论、数学危机及其对数学推动作用

2020-09-10 19:07:23
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

 数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

 悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不 可靠性和失真理性,这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在 解决悖论的过程中,各种理论应运而生了,因而悖论在推动数学发展 中的巨大作用。现在我作如下简单阐述:

 毕达哥拉斯学派认为 “万物皆数 ”而,“一切数均可表成整数或整数 之比”则是这一学派的数学信仰。然而,毕达哥拉斯定理却成了毕达哥 拉斯学派数学信仰的 “掘墓人 ”毕.达哥拉斯定理提出后,其学派中的一 个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为 1 的正方形其对角线长度是 多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能 用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 V 2

 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不 但对毕达哥拉斯学派的致命打击,也对于当时所有古希腊人的观念这 都是一个极大的冲击。

 更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

 这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上 一场大的风波,史称 “第一次数学危机 ”.

 二百年后,欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到

 18 世纪,当数学家证明了圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才 多起来。到十九世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无 理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人 类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解 决了第一次数学危机。

 伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪微积分诞生, 但是微积分理论是不严格的。理论都建立在无穷小分析之上,作为基 本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时 就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克 莱。

 数学史上把贝克莱的问题称之为 “贝克莱悖论 ”笼.统地说,贝克莱 悖论可以表述为 “无穷小量究竟是否为 0”的问题:就无穷小量在当时实 际应用而言,它必须既是 0,又不是 0.但从形式逻辑而言,这无疑是一 个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导 致了第二次数学危机的产生。

 十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。然而,与此同时十八 世纪粗糙的,不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中 出现的混乱局面了。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学

 逻辑基础问题的彻底暴露。这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成 为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪,批判、系统化和严密论证 的必要时期降临了。

 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。

 柯西于 1821 年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。后来, 德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的 “-於方法。

 另外,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等 概念也建立在了较坚实的基础上。

 柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深 入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了 自己完整的实数体系。

 1892 年,另一个数学家创用 “区间套原理 ”来建 立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论 与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问 题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前 雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。微积分学坚实牢固基础的建 立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的 彻底解决。

 十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,并且获得广泛而

 高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起 整个数学大厦。因而这使数学家们为之陶醉。

 可是, 1903 年一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的! 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

 罗素构造了一个集合s:s由一切不是自身元素的集合所组成。然后 罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合, 或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自 己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

 如果S属于S根据S的定义,S就不属于S反之,如果S不属于S同样 根据定义,S就属于S.无论如何都是矛盾的。

 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。

 这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨 大反响则导致了第三次数学危机。

 危机产生后,人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通 过对集合定义加以限制来排除悖论, 这就需要建立新的原则。

 1908 年, 策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来经 其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补

 了康托尔朴素集合论的缺陷。公理化集合系统的建立,成功排除了集 合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另 一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础 问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对 数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数 学。

 以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与解决, 从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。而悖论提出的 正是让数学家无法回避的问题。正如希尔伯特在《论无限》一文中所 指出的那样:必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不 能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模 范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会 导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪 里去寻找可靠性和真理性呢? ”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热 情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次 数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析 基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的 发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。

 

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